Bonjour je suis en 1ere S voici la Question : On note φ le nombre 1 + (racine de)5 (le tout) /2 Prouver que φ(au carré) = φ + 1

Deux approches possibles:

• Calculer φ² et chercher à l'écrire sous la forme φ + 1
• Résoudre l'équation du second degré x²- x -1 = 0 et montrer que (1 + √5)/2 est une solution

Avec la première approche

[tex](\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2}=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}[/tex]

[tex](\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}[/tex]

[tex](\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex]

[tex](\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2}=\frac{2+1+\sqrt{5}}{2}=\frac{2}{2}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]

[tex](\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2}=\frac{2+1+\sqrt{5}}{2}=1+\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]

d'où φ²  = φ + 1

Avec la seconde approche, on trouve deux solutions à x²- x -1 = 0, x1 = (1 + √5)/2 et x2 = (1 - √5)/2, donc φ vérifie bien φ²  = φ + 1

Bonjour,

Ф²=[(1+√5)/2]²

Ф²=(1+2√5+5)/4

Ф²=(6+2√5)/4

Ф²=(3+√5)/2

Ф²=(1+√5)/2+2/2

Ф²=(1+√5)/2+1

Ф²=Ф+1