Bonjour, X et y sont des entiers naturels. démontrer que x+y et x-y ont la même parité.

On étudie les 4 cas possibles pour les parités de x et y

• x et y sont pairs. Ils s'écrivent donc sous la forme x = 2 x a et y = 2 x b

x + y = 2 x a + 2 x b = 2 x (a + b) , c'est un multiple de 2 donc x+y est pair

x - y = 2 x a - 2 x b = 2 x (a - b) , c'est un multiple de 2  donc x-y est pair

Donc (x+y) et (x-y) ont la même parité quand x et y sont pairs

• x et y sont impairs: Ils s'écrivent donc sous la forme x = 2 x a  + 1 et y = 2 x b + 1

x + y = 2 x a + 1 + 2 x b + 1 = 2 x (a + b + 1) c'est un multiple de 2  donc x+y est pair

x - y = 2 x a + 1 - 2 x b - 1 = 2 x (a - b) c'est un multiple de 2  donc x-y est pair

Donc (x+y) et (x-y) ont la même parité quand x et y sont impairs

• x est pair et y est impair: Ils s'écrivent donc sous la forme x = 2 x a  et y = 2 x b + 1

x + y = 2 x a + 2 x b + 1 = 2 x (a + b) + 1   donc x+y est impair

x - y = 2 x a - 2 x b - 1 = 2 x (a - b) - 1  donc x-y est impair

Donc (x+y) et (x-y) ont la même parité quand x est pair et y est impair

• x est impair et y est pair:  Ils s'écrivent donc sous la forme x = 2 x a + 1  et y = 2 x b

x + y = 2 x a + 1 + 2 x b = 2 x (a + b) + 1   donc x+y est impair

x - y = 2 x a + 1 - 2 x b  = 2 x (a - b) + 1  donc x-y est impair

Donc (x+y) et (x-y) ont la même parité quand x est impair et y est pair

Donc (x+y) et (x-y) ont toujours la même parité