Je n'arrive pas à résoudre cette inéquation [tex] x^{4} - x^{2} - 1\geq 0 [/tex] Je vous remercie d'avance pour votre réponse

Bonjour

Il faut d'abord effectuer un changement de variable : on appelle X le carré de x. Donc X = x².

L'inéquation devient alors X² - X - 1 ≥ 0

Pour la répondre, tu peux utiliser les formules utilisées les équations du second degrés (voir exemple sur https://nosdevoirs.fr/devoir/1833792 ) ou bien factoriser l'expression X² - X - 1 (correspondant à la deuxième solution sur ma réponse à https://nosdevoirs.fr/devoir/1833792 )

[tex] X^2 - X - 1 = X^2 - X +\frac{1}{4} -\frac{5}{4} [/tex]

J'ai remplacé (-1) par [tex] \frac{1}{4} -\frac{5}{4} [/tex] pour faire apparaître

[tex] X^2 - X +\frac{1}{4} [/tex] qui correspond à une identité remarquable :

[tex] X^2 - X +\frac{1}{4} = (X-\frac{1}{2} )^2 [/tex]

Donc

[tex] X^2 - X +\frac{1}{4} -\frac{5}{4} =(X-\frac{1}{2} )^2-\frac{5}{4}[/tex]

On utilise ensuite l'identité remarquable a²-b² = (a-b)(a+b).

Ici [tex] a^2=(X-\frac{1}{2} )^2 [/tex] et [tex] b^2 = \frac{5}{4} [/tex]

Donc :

[tex] a=(X-\frac{1}{2} ) [/tex]

et

[tex] b=\sqrt{\frac{5}{4}} =\frac{\sqrt{5}}{2} [/tex]

L'expression devient :

[tex] X^2 - X - 1 = [(X-\frac{1}{2}) -\frac{\sqrt{5}}{2} ][(X-\frac{1}{2}) +\frac{\sqrt{5}}{2} ] [/tex]

Donc [tex] X^2 - X - 1 = (X-\frac{1+\sqrt{5}}{2} ) (X-\frac{1-\sqrt{5}}{2} ) [/tex]

Il faut ensuite faire un tableau de signe.

(Dans ce tableau, je note A=[tex]\frac{1-\sqrt{5}}{2} ) [/tex] ≈ -0,62

et B = [tex]\frac{1+\sqrt{5}}{2} ) [/tex] ≈ 1,62)

X | -∞ A B +∞|

_______________________________________________________

(X-A) | - 0 + | +

_______________________________________________________

(X-B) | - | - 0 +

_______________________________________________________

(X-A)(X-B) | + 0 - 0 +

Sur ce tableau on conclut que X² - X - 1 ≥ 0 ⇔ (X ≤ A) ou (X ≥ B)

Or nous savons X est le carré de x. Donc X ≥ 0.

La solution (X ≤ A) ne peut donc pas être retenue ici car A est négatif.

(A ≈ -0,62)

Donc X² - X - 1 ≥ 0 ⇔ X ≥ B soit [tex] X\geq \frac{1+\sqrt{5}}{2} [/tex]

Donc [tex] x\leq \-sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} [/tex] ou [tex] x\geq\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} [/tex]

(Soit en arrondissant au centième près : x ∈ ]-∞ ; -1,27] ∪ [1,27 ; +∞[ )