Bonjour, voici un pb : quels sont les nombres qui ont un nombre pair de diviseurs ? a) chercher ce pb .b) raconter par ecrit les differentes etapes de votre rec

La décomposition en facteurs premiers permet d'écrire n'importe quel entier sous la forme

N = P1^a1 x P2^a2 x ... Pn^an  avec P1, P2, ... Pn des nombres premiers et a1, a2, ...an des entiers naturels

On construit un diviseur d'un nombre N en choisissant un exposant pour chaque premier de la décomposition en facteurs premiers inférieur ou égal à l'exposant qui apparaît dans N

Si A est l'exposant d'un premier P de la décomposition en produit de facteurs premiers, on peut construire (A + 1) diviseur de de N en jouant sur l'exposant de P

Le nombre de diviseurs de N peut donc s'exprimer sous la forme

Nombre de diviseurs de N = (a1 + 1) x (a2 + 1) x ..... x (an + 1)

Pour que le nombre de diviseurs soit pair, il faut donc que le produit (a1 + 1) x (a2 + 1) x ..... x (an + 1) soit pair

Or un produit est pair si au moins l'un des facteurs du produit est pair et (a + 1) est pair si set seulement si a est impair

Donc pour que N est un nombre pair de diviseurs, il faut que sa décomposition en produit de facteurs premiers fasse apparaitre au moins un premier P avec un exposant impair (P apparait un nombre impair de fois dans la décomposition en produit de facteurs premiers)