bonjour je suis en terminale S je suis bloqué à partir de la question 2 pourriez-vous m'aider s'il vous plait ? j'ai trouvé à la question 1 que la suite Un éta

Bonjour,

1) ta réponse est fausse car la justif n'est pas bonne : un n'est pas égale à 1/n² mais à somme de...

Les termes sont bien de + en + petits, mais on en fait la somme.

Un+1 - Un = [1/1² + 1/2² + .... + 1/n² + 1/(n+1)²] - [1/1² + 1/2² + .... + 1/n²]

= 1/(n+1)² donc > 0

⇒ Un+1 - Un > 0 ⇒ (Un) croissante

2) 1/k² - {1/(k - 1) - 1/k]

= 1/k² - [k - (k - 1)]/k(k - 1)

= 1/k² - 1/k(k - 1)

= [k(k - 1) - k²]/k³(k - 1)

= (- 1)/k³(k - 1)

Pour tout k ≥ 2, k³(k - 1) > 0

⇒ 1/k² - [1/(k - 1) - 1/k] ≤ 0

⇔ 1/k² ≤ 1/(k - 1) - 1/k

Un = Σ 1/k² = 1/1² + 1/2² + ... + 1/n²

1/2² ≤ 1/(2 - 1) - 1/2

1/3² ≤ 1/(3 - 1) - 1/3

...

1/n² ≤ 1/(n - 1) - 1/n

⇒ Un ≤ 1 + (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ..... + [1/(n - 2) - 1/(n - 1)] +  [1/(n - 1) - 1/n]

⇔ Un ≤ 1 + 1 - 1/n

1/n > 0 donc Un ≤ 2

3) (Un) croissante et majorée ⇒ (Un) convergente

4) ... on trouve U₁₀₀₀₀ ≈ 1,64483407

5) π²/6 ≈ U₁₀₀₀₀

⇒ π ≈ 3,14149716 soit 3,1415 à 10⁻⁴ près