Bonjour à tous, je rencontre des difficultés pour cet exercice sur les fonctions continues avec derivés, je ne vois pas comment le résoudre du tout ! Pourriez

Bonjour,

1) on peut déjà écrire C(x) sous la forme :

C(x) = x² + 50x + 1200 + 50/x    juste en divisant chaque terme par x

ensuite : bénéfice = prix de vente - cout de production

soit B(x) = 130x - C(x)

= 130x - (x² + 50x + 1200 + 50/x)

= -x² + 80x - 50/x - 1200

2) B'(x) = -2x + 80 + 50/x²

= (-2x³ + 80x² + 50)/x²

En posant : g(x) = -2x³ + 80x² + 50

on a : B'(x) = g(x)/x²

Donc B'(x) est du signe de g(x).

Signe de g(x) sur ]0,100]

g'(x) = -6x² + 160x = x(-6x + 160)

x > 0 sur ]0;100], donc g'(x) est du signe de (-6x + 160)

et -6x + 160 = 0 ⇔ x = 160/6 = 80/3

x                  0                        80/3                      100

-6x+160                    +              0            -

g'(x)                           +              0            -

g(x)                     crois.                      décrois.

g(0) = 50 (ou plutôt lim g(xà quand x → 0 = 50)

g(80/3) = ...19012 donc > 0

g(100) = -1 199 950 donc < 0

Donc il existe α ∈ [80/3 ; 100] tel que g(α) = 0

On trouve α ≈ 40,01 à 0,01 près

On en déduit :

x             0                       α                      100

g(x)        50         +           0         -

B'(x)                     +           0        -

B(x)               crois.                 décrois.

3) ⇒ B(x) est maximum pour x = α  soit 40 objets

et B(α) ≈ 398,75 en milliers d'€