Exercice :1-deteminer x et y dans IN telle que: [tex]x { }^{2} + xy + y {}^{2} = 19[/tex] 2-deteminer x et y dans IN telle que : [tex]x {}^{2} - 4y {}^{2} =

1) x et y sont dans N, donc x², xy et y² sont positifs ou nuls

Aucun des membres de la somme ne peut être plus grand que 19. Le plus grand carré d'un nombre entier inférieur à 19 est 16

Il y a donc 5 possibilités de valeurs pour x à tester 0, 1, 2, 3, 4

• cas x = 0

On obtient y² = 19 => il n'y a pas de solution dans N

• cas x = 1

On obtient 1 + y + y² = 19 soit y (y+1) = 18.  y et (y+1) sont deux nombres consécutifs. Or la décomposition de 18 en produit de facteurs premiers donne 18 = 2 x 3 x 3, il n'est pas possible d'exprimer 18 comme le produit de deux nombres entiers consécutifs

• cas x = 2

On obtient 4 + 2y + y² = 19, soit 2y + y² = 15 ou y(2+y) = 15

La décomposition de 15 en produit de facteurs premiers donne 15 = 3 x 5

Ce qui nous donne y = 3

(x: 2, y: 3) est donc une solution

• cas x = 3

On obtient 9 + 3y+ y² = 19 soit y² + 3 y = 10 ou y (y + 3) = 10

ce qui donne y: 2

(x: 3, y:2) est une solution

• cas x = 4

On obtient 16 + 4y + y² = 19 soit y² + 4y = 3 ou y (y+ 4) = 3. Il n'y a pas de solution dans N

Les solutions sont donc (x:2, y:3) et (x: 3, y:2)

2)

[tex]x^{2}-4y^{2}=x^{2}-(2y)^{2}=(x-2y)(x+2y)[/tex]

La décomposition de 38 en produit de facteurs premiers donne 38 = 2 x 19

On va tester les différents cas possibles  

• cas  x-2y = 1 et x + 2y = 38

on obtient x = 1 + 2y et  1 + 2 y + 2 y = 38 soit 4y = 37. Il n'y a pas de solution dans N  

• cas x-2y = 2 et x+2y=19

On obtient x = 2 + 2y et 2 + 2y + 2y = 19 soit 4y = 17. Il n'y a pas de solution dans N

• cas x-2y = 19 et x+2y=2

on obtient x = 19 + 2y et 19 + 2y + 2 y = 2 soit 4y = -17. Il n'y a pas de solution dans N

• cas x - 2y = 38 et x + 2y = 1

on obtient x = 38 + 2y et 38 + 2y + 2y = 1 soit 4y = -37. Il n'y a pas de solution dans N