Bonjour pouvez vous m'aider pour ces deux exercices car je ne comprend rien au nombres complexes s'il vous plait? C'est niveau terminal.

Bonjour,

Ex 1)

1) z = a + ib

zbarre = a - ib ⇒ zbarre² = (a - ib)² = (a² - b²) - 2abi

⇒ f(z) = a + (a² - b²) + (b - 2ab)i

2) f(z) ∈ R

⇒ Im[f(z)} = 0

⇔ (b - 2ab) = 0

⇔ b(1 - 2a) = 0

⇒ b = 0 et a ∈ R ou a = 1/2 et b ∈ R

⇒ z = a soit f(z) = a + a²

ou z = 1/2 + ib soit f(z) = 3/4 - b²

⇒ Ε : Droite horizontale des réels (y = 0) ∪ Droite verticale x = 1/2

Ex 2) en posant z = a + ib avec a et b réels

Z = 1/(z² + 1)  = 1/(a² - b² + 1 + 2abi)

= (a² - b² + 1 - 2abi)/(a² - b² + 1 + 2abi)(a² - b² + 1 - 2abi)

= (a² - b² + 1 - 2abi)/[(a² - b² + 1)² + (2ab)²]

Z ∈ R ⇒ -2ab = 0 et (a² - b² + 1) ≠ 0

⇒ (a = 0 et b ≠ +/- 1) ou b = 0

soit Z = (- b² + 1)/(-b² + 1)² = 1/(1 - b²)²

ou Z = (a² + 1)/(a² + 1)² = 1/(1 + a²)²

1) Faux car Z > 0

2) Si a = 0, z = bi  avec b ≠ +/- 1

et si b = 0, z = a

Donc faux

3) vrai cf ci-dessus

4) faux