niveau terminale : Les limites de suites Soient a et b de nombres réels. On considère les suite (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par : Un=(an+b

1) Un n'est pas divergente: si on calcule la limite de Un quand n tend vers l'infini, on voir que Un converge vers a/2

Pour le démontrer, on écrit Un différement pour n ≠ 0

[tex]Un=\frac{a+\frac{b}{n}}{2+\frac{1}{n}}[/tex]

lim (u/v) = lim(u)/lim(v)

lim(a+b/n) = a   quand n tend vers l'infiini

lim(2+1/n) = 2  quand n tend vers l'infini

d'où lim(Un) = a/2 quand n tend vers l'infini

2) D'après le résultat de 1), il faut avoir  a = 1  pour que Un converge vers 1/2

On va maintenant s'intéresser à la limite de Vn

Vn = n (2Un-1)

[tex]Vn=n(2\frac{a*n+b}{2n+1}-1)[/tex]

[tex]Vn=n(\frac{2*a*n+2*b-2n-1}{2n+1})[/tex]

[tex]Vn=\frac{n((2a-2)n+(2b-1))}{2n+1}[/tex]

Sur le même principe, on peut utiliser lim (u/v) = lim(u)/lim(v) pour calculer la limite de Vn quand n tend vers l'infini

Pour cela, on peut écrire Vn différement pour n ≠ 0

[tex]Vn=\frac{((2a-2)n+(2b-1))}{2+\frac{1}{n}}[/tex]

• Lim(2 + 1/n) = 2 quand n tend vers l'infini
• Pour lim((2a-2)n + (2b-1)) quand n tend vers l'infini, il y a trois cas

1. soit a = 1, dans ce cas l'expression est constante: la limite est (2b - 1)
2. soit a > 1, dans ce cas la limite est +∞
3. soit a < 1, dans ce cas la limite est -∞

Donc si on souhaite que Vn converge, il faut que avoir  a = 1  

Avec a = 1, la limite de Vn est (2b - 1)/2, d'où b = 1 si on veut que la limite de Vn soit 1/2

Il est donc possible que Un et Vn convergent vers 1/2 si les paramètres sont a = 1 et b = 1