(20 points) bonjour vous pouvez m'aider svp Soit a un entier naturel non nul 1- montrer que (a^2015+a^2016) est un nombre pair 2-montrer que (a+a^3) est un nomb

Bonsoir,

1) a²⁰¹⁵+a²⁰¹⁶=a²⁰¹⁵(1+a)

On va distinguer 2 cas:

Si a est pair donc on peut écrire a=2k avec k∈N donc:

a²¹⁰⁶+a²⁰¹⁵=(2k)²⁰¹⁵(2k+1)

2k+1 est impair et (2k)²¹⁰⁵ est paire donc le produit sera pair.

Si a est impair donc on peut écrire a=2k+1 avec k∈N donc:

a²¹⁰⁶+a²⁰¹⁵=(2k+1)²⁰¹⁵+(2k+1)²⁰¹⁶

a²¹⁰⁶+a²⁰¹⁵=(2k+1)²⁰¹⁵(2k+1+1)

a²¹⁰⁶+a²⁰¹⁵=(2k+1)²⁰¹⁵(2k+2)

a²¹⁰⁶+a²⁰¹⁵=2(k+1)(2k+1)²⁰¹⁵

Tout entier multiplié par 2 donne un entier pair.

En conclusion, a²¹⁰⁶+a²⁰¹⁵ est bien un nombre pair.

2) (a+a³)=a(a²+1)

Nous distinguerons 2 cas également:

Si a est pair donc a=2k avec k∈N donc:

(a+a³)=2k(1+(2k)²)

(a+a³)=2k(1+4k²)

(a+a³)=2(k+4k²)

∀k∈N k+4k²∈N donc 2(k+4k²) est pair.

Si a est impair donc a=2k+1 avec k∈N donc:

(a+a³)=(2k+1)((2k+1)²+1)

(a+a³)=(2k+1)(4k²+4k+1+1)

(a+a³)=(2k+1)(4k²+4k+2)

(a+a³)=2(2k+1)(2k²+2k+1)

∀k∈N (2k+1)(2k²+2k+1)∈N donc 2(2k+1)(2k²+2k+1) est pair.

On en conclut que (a+a³) est pair ∀a∈N