Svp j'ai besoins d'aide : montrer que pour tout n∈N on a √(n²+7n+10)∉N merci d'avance

Bonjour,

on raisonne par l'absurde :

Supposons que √(n² + 7n + 10) ∈ N

alors il existe p ∈ N tel que √(n² + 7n + 10) = p

et donc : (√(n² + 7n + 10)² = p²

soit : n² + 7n + 10 = p²   ⇒ p < n car (7n + 10) > 0

Or : n² + 7n + 10 = p²

⇔ n² - p² = -(7n + 10)

⇒ n² - p² < 0  car (7n + 10) > 0

⇔ (n + p)(n - p) < 0

n et p ∈ N ⇒ (n + p) ≥ 0

donc il faudrait : (n - p) < 0

⇔ n < p

⇒ impossible car n > p

Donc pour tout n ∈ N, il n'existe aucun entier p tel que (n² + 7n + 10) = p²

ce qui implque que √(n² + 7n + 10) ∉ N