Bonsoir Pouvez vous m'aidez sil vous lait Soit le polynome f(x)=3x³+11x²-67x+21 1) Démontrer que 3 est une racine de f(x) 2) En déduire une factorisation de f(x
Question
Soit le polynome f(x)=3x³+11x²-67x+21
1) Démontrer que 3 est une racine de f(x)
2) En déduire une factorisation de f(x) sous la forme (x-3) P(x) où P(x) est à déterminer.
3) Factoriser P(x) puis en déduire que f(x) = (3x-1) (x-3) (x+7)
4) Résoudre l'équation f(x)=0
1 Réponse
-
1. Réponse lemortalex
1) f(3) = 3 * 3³ + 11 * 3² - 67 * 3 +21 = 0
Donc 3 est une racine de f(x)
2) 3x³ + 11x² - 67x + 21
= 3x³ - 9x² + 20x² - 67x +21
= 3 (x³ - 3x²) + 20x² - 67x + 21
= 3 (x - 3) x² + 20x² - 67x + 21
= 3 (x - 3) x² + 20x² - 60x - 7x + 21
= 3 (x - 3) x² + 20 (x² - 3x) - 7x + 21
= 3 (x - 3) x² + 20 (x - 3) x - 7x + 21
= 3 (x - 3) x² + 20 (x - 3) x - 7 (x -3)
= (x - 3) (3x² + 20x - 7)
D'où P(x) = 3x² + 20x - 7
3) On cherche les solutions de 3x² + 20x - 7 = 0
Calcul du discrimant Δ = 20² - 4 * 3 * (-7) = 484. Le discrimant est positif donc il y a une solution
x1 = (-20 - √484)/(2 * 3) = -7
x2 = (-20 + √484)/(2 * 3) = 1/3
D'où P(x) = 3 (x - (-7)) (x - 1/3)
P(x) = 3 (x + 7) (x - 1/3)
P(x) = (x + 7) (3x - 1)
D'où f(x) = (x - 3) P(x) = (x - 3) ( x + 7) (3x - 1)
4) Les solutions de f(x) = 0 sont les racines de f(x) soit x: 3, x: -7 et x: 1/3