On considère les points A(1;3), B(5;5), C(8;2), D(4;0). on note E le symétrique de D par rapport à C, et F le symétrique de B par rapport à À. 1.Déterminer la n

1) déterminer la nature du quadrilatère ABCD

AB = √[(5-1)²+(5-3)²] = √(16 + 4) = √20 = 2√5

AD = √[(4 - 1)²+( 0 - 3)²] = √(9+9) = √18

DC = √[(8-4)²+(2 - 0)²] = √(16 + 4) = √20 = 2√5

puisque  AB = DC ⇒ le quadrilatère ABCD est un parallélogramme

2) déterminer les coordonnées des points E et F

E(x ; y) est le symétrique de D par rapport à C ⇒ DC = CE

DC = (4 ; 2)

CE = (x - 8 ; y - 2)

⇒ x - 8 = 4 ⇒ x = 12

   y - 2 = 2 ⇒ y = 4

E(12 ; 4)

F est le symétrique de B par rapport à A ⇒ BA = AF

BA= (1 - 5 ; 3 - 5) = (- 4 ; - 2)

AF = (x - 1 ; y - 3)

x - 1 = - 4 ⇒ x = - 3  

y - 3 = - 2 ⇒ y = - 2 + 3 = 1

F (- 3 ; 1)

3) étudier la nature du quadrilatère ABEC, ACDF et BEDF

Le quadrilatère ABEC

AB = √20

CE = √[(12 - 8)²+(4 - 2)² = √(16+4) = √20

AB = CE ⇒ ABEC est un parallélogramme

ACDF /   FA = DC = √20 ⇒ ACDF est un parallélogramme

par transitivité le quadrilatère BEDF est aussi un parallélogramme