Svp j'ai besoin d'aide le plus vite possible c'est pour demain: ABC est un triangle I,J et K sont 3 points du plan tels que : CJ=1/3CA (des vecteurs) et BI=3/2B

Je vais noter les vecteurs en gras ou avec des flèches.

Pour montrer que I, K et J sont alignés, on va montrer que les vecteurs IJ et IK sont colinéaires par exemple.

On va travailler dans la base (AB ; AC) et définir les coordonnées des points I, J et K dans cette base pour simplifier le travail.

Ainsi comme AK = (2/5)*AB + 0 *AC, les coordonnées de K dans cette base sont K (2/5 ; 0)

De plus par relation de Chasles AJ = AC + CJ = AC +(1/3) CA = AC-(1/3)AC = (2/3) AC

Donc J (0; 2/3)

D'autre part AI = AB + BI = AB + (3/2) BC = AB + (3/2)( BA + AC) =(1-3/2) AB +(3/2) AC = (-1/2)AB + (3/2) AC

Donc I (-1/2 ; 3/2)

On a les coordonnées des trois points. Maintenant déterminons les coordonnées des vecteurs IJ et IK dans cette base pour démontrer qu'ils sont colinéaires :

IJ a pour coordonnées : ( xJ - xI  ;  yJ - yI ) = (0 + 1/2 ; 2/3 - 3/2) = (1/2 ; -5/6)

IK a pour coordonnées : ( xK - xI  ; yK - yI ) = ( 2/5 + 1/2 ; 0- 3/2) = (9/10 ; -3/2)

Là on trouve une proportionnalité entre les coordonnées de IJ et de IK,  en effet si on calcule :

[tex] \dfrac{x_{IJ}}{x_{IK}} = \dfrac{1/2}{9/10} = \dfrac{10}{18} =\dfrac{5}{9}[/tex]

de même :

[tex] \dfrac{y_{IJ}}{y_{IK}} = \dfrac{-5/6}{-3/2} = \dfrac{10}{18} =\dfrac{5}{9}[/tex]

donc finalement : IJ = (5/9) IK

d'où IJ colinéaire à IK et donc I,J et K sont alignés CQFD