Bonjour pouvez-vous vous m aider s il vous plait je ne comprends pas du tout c’est un dm je veux des details et bien expliquer merci d’avance

Deja essayons de comprendre la situation. La suite (un) va venir représenté le nombre de voiture à disposition du loueur. Le terme u(n) correspond au nombre de voitures que le loueur a lors de l'année n  (comptée à partir de 2015)

En 2015+0 = 2015 le loueur a 10 000 voitures. Donc u0 = 10 000

On s'intéresse à l'évolution de (un). Imaginons qu'à l'année 2015+n (c'est-à-dire) n années après 2015, le loueur possède un nombre u(n) de voitures. Il se demande donc combien il en aura l'année suivante, c'est-à-dire n+1 années après 2015. Autrement dit, on souhaiterait connaitre u(n+1).

Pour ce faire, on sait qu'il revend 0,25 = 25% des voitures de l'année précédente et qu'il en achète 3000 venu d'ailleurs.

Donc u(n+1) = u(n) - 0,25 * u(n) +3000 = (1-0,25).u(n) +3000 )= 0,75*u(n) + 3000

2. v(n) = u(n) - 12 000

C'est toujours la même chose : pour montrer qu'une suite (vn) est géométrique, on calcule le rapport v(n+1) / v(n) et on montre qu'il est constant (ne dépend pas de n) :

[tex]\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{u_{n+1}-12 000}{u_n- 12 000} =\dfrac{0,75u_n +3000-12000}{u_n-12000}=\dfrac{0,75u_n -9000}{u_n-12000}[/tex]

en factorisant le numérateur par 0,75 (car 0,75*12 000 = 9000) :

[tex]\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = 0,75 \dfrac{u_n-12000}{u_n-12000} = 0,75[/tex]

Donc (vn) est une suite géométrique de raison q = 0,75 et de premier terme v0 = u0 - 12 000 = 10 000 - 12 000 = -2000

b. D'après le cours, on a donc une formule pour (vn) qui est :

v(n) = v0 * q^n = -2000*0,75^n

Comme 0,75 < 1 , on a quelque soit n : 0,75^n < 1 et donc [tex]\lim_{n \to \infty} 0,75^n = 0[/tex]

d'où par produit : [tex]\lim_{n \to \infty} v_n = 0[/tex]

c. Comme v(n) = u(n) - 12 000,  u(n) = v(n) + 12 000

donc en remplacant par la formule de v(n) on trouve bien l'expression demandée.

d. Ce qui est demandé, revient à faire tendre n vers l'infini dans la nouvelle expression de u(n) (qui ne dépend plus que de n)

et comme on a vu que (0,75)^n tend vers 0 quand n tend vers l'infini, on en déduit immédiatement que :

[tex]\lim_{n \to \infty} u_n = 12 000[/tex]

Donc au bout d'un très grand nombre d'années, le nombre de voitures du loueur se stabilisera vers 12 000 (sans jamais dépasser 12 000 d'ailleurs)