bjr besoin d'aide svp pour mon dm svp

Bonjour,

1) (Un) constante : Un+1 = Un

soit 4/(4 - Un) = Un

⇔ 4 = Un(4 - Un)

⇔ Un² - 4Un + 4 = 0

⇔ (Un - 2)² = 0

⇔ Un = 2

2) U₀ < 2

On suppose Un < 2

Au rang (n+1) :

Un < 2

⇔ -Un > -2

⇔ 4 - Un > 4 - 2

⇔ 1/(4 - Un) < 1/2     car 4 - Un > 0

⇔ 4/(4 - Un) < 2

⇔ Un+1 < 2

donc propriété héréditaire

3) Un+1 - Un

= 4/(4 - Un) - Un

= (4 - 4Un + Un²)/(4 - Un)

= (Un - 2)²/(4 - Un)

(Un - 2)² > 0 et (4 - Un) > 0 ⇒ Un+1 - Un > 0 ⇒ (Un) croissante

4) U₀ = -1

Vn = 1/(Un - 2)

⇒ Vn+1 = 1(Un+1 - 2)

Un+1 - 2 = 4/(4 - Un) - 2 = (4 - 8 + 2Un)/(4 - Un) = 2(Un - 2)/(4 - Un)

⇒ Vn+1 = (4 - Un)/2(Un - 2)

⇒ Vn+1 - Vn = (4 - Un)/2(Un - 2) - 1/(Un - 2)

= (4 - Un - 2)/(Un - 2)

= (2 - Un)/(Un - 2)

= -1

⇒ (Vn) arith de raison r = -1 et de 1er terme V₀ = 1/(U₀ - 2) = -1/3

5) on en déduit : Vn = -1/3 - n

et donc Un = 1/Vn  + 2 = -1/(1/3 + n) + 2 = ...

6) lim Un quand n → +∞ = 2

⇒ (Un) converge vers 2