Comment tracer avec un compas et une règle non gradué un polygones qui a deux cotés de même longeur et deux autres coté de même longeur. 6° 3 mat

Un pentagone régulier est un polygone à cinq côtés tous de même longueur. Il est possible de construire un tel pentagone à l’aide de la règle (non graduée) et du compas, ce qui sera décrit ci-dessous. Notons qu’il n’est pas possible de construire tous les polygones réguliers à l’aide de la règle et du compas: en effet, de tels outils ne sont pas suffisant pour construire de manière exacte un heptagone (polygone régulier à sept côtés).

Cet article commence avec une proposition de méthode de construction d’un pentagone régulier P_0P_1P_2P_3P_4, puis une justification mathématique de cette construction.

Voici une animation de la construction. Les différentes étapes sont décrites en-dessous.

Etapes de la construction:

Tracer un cercle c de centre O, ainsi que deux diamètres perpendiculaires que nous nommerons [AB] et [C P_0].Début de la construction du pentagone régulier

Placer un point M au milieu de [CO], et, à l’aide du compas, tracer un arc de cercle centré en M, passant par B. Il coupe le segment [OP_0] en D. (Remarque: la construction de M peut se faire en traçant la médiatrice de [CO] au compas).

Tracer la médiatrice de [OD] (on note I le milieu de ce segment). Elle coupe le cercle c en P_1.  

Tracer le segment [P_0P_1] et à l’aide du compas, reporter ce segment le long du cercle pour obtenir les points P_2, P_3,P_4, Puis relier les sommets du pentagone.

La construction est maintenant terminée !

Pourquoi cette construction marche ?

Après avoir fait un joli dessin, intéressons-nous un peu plus à la théorie mathématique qui prouve que ces étapes de construction nous donnent bel et bien un pentagone régulier. Le principe de cette construction est de placer 5 points régulièrement espacés sur un cercle, ce qui revient à couper le cercle en cinq parts égales. Puisqu’un tour complet vaut 2\pi, le principe est donc de découper le cercle en cinq angles faisant chacun \frac{2\pi}{5} radians. Dans toute la suite, et pour simplifier les explications, nous nous contenterons d’un cercle de rayon 1.

Mais alors, comment tracer un angle de \frac{2\pi}{5} radians ? Pour cela, on a besoin de construire un segment de longueur cos(\frac{2\pi}{5}).  Plus généralement, si on sait construire un segment [OI] de longueur cos(\alpha) alors on sait construire un angle de \alpha radians en traçant la perpendiculaire à [OI] passant par I, comme le montre la figure ci-dessous (le rayon de ce cercle étant 1):

Toute la question de la construction d’un pentagone régulier se résume donc à la construction d’un segment de longueur cos(\frac{2\pi}{5}). Il se trouve que ce nombre peut se calculer très simplement puisque cos(\frac{2\pi}{5}) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}. Nous allons démontrer cette affirmation en utilisant des outils empruntés à l’algèbre:

Posons z=e^{\frac{i2\pi}{5}}. On remarque immédiatement que cos(\frac{2\pi}{5})=Re(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}=\frac{z+\frac{1}{z}}{2}.

Le nombre complexe z est une racine du polynôme X^5-1 = (X-1) (X^4 + X^3 + X^2+X+1) et comme z est différent de 1, ce même nombre vérifie la relation:

z^4 + z^3 + z^2+ z+1 = 0

Puisque z est non nul, on peut diviser la relation précédente par z^2 ce qui donne (en regroupant les termes):

(z^2+\frac{1}{z^2}) + (z+\frac{1}{z}) + 1 = 0

donc:

(z+\frac{1}{z})^2 - 2 + (z+\frac{1}{z}) + 1 = 0 (car a^2+b^2=(a+b)^2-2ab) c’est-à-dire

(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=0.

Enfin, en divisant la dernière égalité par 4 et en utilisant le fait que cos(\frac{2\pi}{5}) = \frac{z+\frac{1}{z}}{2}, on obtient finalement:

cos(\frac{2\pi}{5})^2+\frac{1}{2}cos(\frac{2\pi}{5})-\frac{1}{4}=0.

Cela signifie que le nombre cos(\frac{2\pi}{5}) est une racine du polynôme X^2+\frac{1}{2}X-\frac{1}{4}. Or, d’après les formules bien connues, ce polynôme possède exactement deux racines à savoir:

X_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} >0 et X_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{4} <0.

Puisque cos(\frac{2\pi}{5}) >0  (le cosinus d’un angle aigu est toujours positif !), c’est qu’on a nécessairement  cos(\frac{2\pi}{5})= X_1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}. CQFD.

Pour terminer de justifier notre construction, il faut montrer que le segment [OI] que nous avons construit dans l’étape n°4 vaut bien \frac{-1+\sqrt{5}}{4}. Cela prouvera qu’effectivement l’angle P_1OP_0 vaut \frac{2\pi}{5}. Rappelons que nous avions pris M comme le milieu d’un rayon, ce qui donne donc OM=\frac{1}{2}.

Comme OI= \frac{OD}{2} (voir figure de l’étape 4), il est donc équivalent de montrer que OD = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}. Or, OD = DM -OM = BM - OM.  D’après le théorème de Pythagore, BM=\sqrt{1^2 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}, ce qui implique donc que OD = \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}.

Nous sommes rassurés, nous avions bien construit un angle de \frac{2\pi}{5} !