Bonjour, Dans un repère (O, I, J) du plan, on donne les points A ( −2, 4) B (3, 5) et C (6, 2) 1. Faire une figure que l’on complètera après chaque question. 2.

Bonjour ;

1)

Veuillez-voir le fichier ci-joint .

2)

Soient x et y les coordonnées du point D .

Les coordonnées du vecteur DC sont : 6 - x et 2 - y .

Les coordonnées du vecteur AB sont :3 - (- 2) = 5 et 5 - 4 = 1 .

ABCD est un parallélogramme si les vecteurs AB et DC sont égaux ;

on doit avoir : 6 - x = 5 et 2 - y = 1 ;

donc : x = 1 et y = 1 ;

donc les coordonnées du point D sont : 1 et 1 .

3)

a)

Soient u et v les coordonnées du point E ;

donc les coordonnées du vecteur ED sont : 1 - u et 1 - v ;

et les coordonnées du vecteur EA sont : - 2 - u et 4 - v ;

donc on doit avoir : 1 - u - 3(- 2 - u) = 0 et 1 - v - 3(4 - v) = 0 ;

donc : 1 - u + 6 + 3u = 0 et 1 - v - 12 + 3v = 0 ;

donc : 2u + 7 = 0 et 2v - 11 = 0 ;

donc : u = - 7/2 et v = 11/2 ;

donc les coordonnées du point E sont : - 7/2 et 11/2 .

b)

AE = AD + DE = - DA - ED = - DA - 3EA = - DA + 3AE ;

donc : 0 = - DA + 2AE ;

donc : 2AE = DA ;

donc : AE = 1/2 DA .

4)

Soient p et q les coordonnées du point F ;

donc les coordonnées du vecteur CF sont : p - 6 et q - 2 .

Les coordonnées du vecteur DC sont les coordonnées du vecteur AB qui sont 5 et 1 ; donc on a : p - 6 = 2 x 5 = 10 et q - 2 = 2 x 1 = 2 ; donc : p = 16 et q = 4 ; donc les coordonnées du point F sont : 16 et 4 .

5)

Les coordonnées du vecteur BE sont : - 7/2 - 3 = - 3,5 - 3 = - 6,5 et 11/2 - 5 = 5,5 - 5 = 0,5 .

Les coordonnées du vecteur BF sont : 16 - 3 = 13 et 4 - 5 = - 1 .

Comme on a : 13 = - 2 x (- 6,5) et - 1 = - 2 x 0,5 ; donc on a : BF = - 2BE ; donc les vecteurs BF et BE sont colinéaires , donc les droites (BF) et (BE) sont parallèles , et comme ces deux droites ont un point commun qui est le point B alors ces deux droites sont confondues , donc les B , E et F sont alignés .

6)

Les coordonnées du point M sont : (6 + 16)/2 = 22/2 = 11 et (2 + 4)/2 = 6/2 = 3 .

Les coordonnées du point L sont : (6 + 3)/2 = 9/2 = 4,5 et (2 + 5)/2 = 7/2 = 3,5 .

Les coordonnées du milieu du segment [AM] sont (- 2 + 11)/2 = 9/2 = 4,5 et (4 + 3)/2 = 7/2 = 3,5 qui sont les coordonnées du point L , donc le point L est le milieu du segment [AM] .

Question 1 : voir figure jointe.

Question 2 : Si ABCD est un parallélogramme alors [tex] \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} [/tex]

Les coordonnées de [tex] \overrightarrow{AB} [/tex] sont :

pour l'abscisse : [tex] x_B-x_A = 3+2 = 5 [/tex]

pour l'ordonnée : [tex] y_B-y_A = 5-4 = 1 [/tex]

Donc [tex] \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} [/tex] ⇒

[tex] \left \{ {{6-x_D=5} \atop {2-y_D=1}} \right. [/tex]

Donc [tex] x_D = 1 \ et \ y_D=1 [/tex ]⇔ D (1 ; 1)

Question 3a

[tex] \overrightarrow{ED}-3\overrightarrow{EA}=\vec{0} [/tex] ⇒  

[tex] \left \{ {{1-x_E=3(-2-x_E)} \atop {1-y_E=3(4-y_E)}} \right. [/tex]

Donc en résolvant ces deux équations, on trouve :

[tex] x_E = -3,5 \ et \ y_E=5,5 [/tex]⇔ E (-3,5; 5,5)

Question 3b

Calcul des coordonnées de [tex] \overrightarrow{DA} [/tex] :

[tex] x_{\overrightarrow{DA}} = x_A-x_D=-2-1=-3 [/tex]

[tex] y_{\overrightarrow{DA}} = y_A-y_D=4-1=3 [/tex]

Calcul des coordonnées de [tex] \overrightarrow{AE} [/tex] :

[tex] x_{\overrightarrow{AE}} = x_E-x_A=-3,5+2=-1,5 [/tex]

[tex] y_{\overrightarrow{AE}} = y_E-y_A=5,5-4=1,5 [/tex]

Donc nous voyons que  

[tex] x_{\overrightarrow{DA}}=2x_{\overrightarrow{AE}} [/tex]

et [tex] y_{\overrightarrow{DA}}=2y_{\overrightarrow{AE}} [/tex]

Donc [tex] \overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{AE} [/tex] ⇔ [tex] \overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE} [/tex]

Question 4 :

Calcul des coordonnées de [tex] \overrightarrow{DC} [/tex]

[tex] x_{\overrightarrow{DC}}=6-1=5 [/tex]

et [tex] y_{\overrightarrow{DC}}=2-1=1 [/tex]

Donc [tex] \overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{DC} [/tex] ⇔

[tex] \left \{ {{x_F-6=2*5} \atop {y_F-2=2*1}} \right. [/tex]

Donc, en résolvant ces deux équation, on trouve

[tex] x_F = 16 \ et \ y_7=4 [/tex]⇔ F (16; 4)

Question 5

Calcul des coordonnées de [tex] \overrightarrow{BE} [/tex] :

[tex] x_{\overrightarrow{BE}}=x_E-x_B=-3,5-3=-6,5 [/tex]

[tex] y_{\overrightarrow{BE}}=y_E-y_B=5,5-5=0,5 [/tex]

Calcul des coordonnées de [tex] \overrightarrow{BF} [/tex] :

[tex] x_{\overrightarrow{BF}}=x_F-x_B=16-3=13 [/tex]

[tex] y_{\overrightarrow{BE}}=y_F-x_B=4-5=-1 [/tex]

Les coordonnées de [tex] {\overrightarrow{BE} [/tex] sont donc (-6,5 ; 0,5).

Celles de [tex] {\overrightarrow{BF} [/tex] sont (13 ; 1).

Donc [tex] x_{\overrightarrow{BF}}=-2x_{\overrightarrow{BE}} \ et \ y_{\overrightarrow{BF}}=-2y_{\overrightarrow{BE}} [/tex]

Donc [tex] \overrightarrow{BF}=-2\overrightarrow{BE} [/tex]

Les points B, F et E sont donc alignés.

Question 6

M = Mil ([CF]) donc

[tex] x_M=\frac{x_F+x_C}{2}=  \frac{16+6}{2}=11 [/tex]

et [tex] y_M=\frac{y_F+y_C}{2}=  \frac{4+2}{2}=3 [/tex]

Donc les coordonnées de M sont (11 ; 3).

Calcul des coordonnées de L = mil([BC])

[tex] x_L=\frac{x_B+x_C}{2}=  \frac{3+6}{2}=4,5 [/tex]

[tex] y_L=\frac{y_B+y_C}{2}=  \frac{5+2}{2}=3,5 [/tex]

Donc les coordonnées de M sont (4,5 ; 3,5).

Calcul des coordonnées du milieu de [AM]

[tex]  x=\frac{x_A+x_M}{2}=  \frac{-2+11}{2}=4,5 [/tex]

et [tex]  y=\frac{y_A+y_M}{2}=  \frac{4+3}{2}=3,5 [/tex]

Donc les coordonnées du milieu de [AM] sont (4,5 ; 3,5),soit les mêmes que celles du point L. Donc L est le milieu de [AM].