Bonjour a tous et à toutes Je n'arrive pas à faire ses exercices sur les suites merci de bien vouloir m'aider

exo 45 :

Uo = 8 ; U1 = 0,25*Uo + 3 = 0,25*8 + 3 = 2 + 3 = 5 ; U2 = 4,25 ; U3 = 4,0625 ; ... Un+1 = 0,25*Un + 3 .

1°) Un+1 - Un = 0,25*Un + 3 - Un = 3 - 0,75*Un .

    Or Uo = 8 , donc U1 - Uo = 3 - 6 = -3 ≤ 0 .

2°) la suite (Un) est donc bien décroissante . Avec Uo = 8 , et admettant pour limite de Un ( pour n --> +∞ ) la valeur "U∞" = 4 .

exo 49 :

1°) étude de la fonction "f" telle que f(x) = (4x-2) / (x+1) .

Fonction définie pour x ≠ -1 , ce qui est le cas ici puisque l' intervalle d' étude est [ +1 ; +∞ [ .

f ' (x) = [ (x+1)*4 - (4x-2) ] / (x+1)² = [ 4x+4 - 4x + 2 ] / (x+1)² = 6 / (x+1)² toujours positive, donc la fonction "f" est toujours croissante sur l' intervalle d' étude .

f(1) = 1 , or on vient de dire que la fonction est croissante donc f(x) ≥ 1 sur l' intervalle d' étude est vérifié !

autre méthode : (4x-2) / (x+1) ≥ 1 donne 4x-2 ≥ x+1 donc 3x ≥ 3 d' où x ≥ 1 , ce qui correspond à l' intervalle d' étude, donc f(x) ≥ 1 est bien vérifié !

2°) Uo = 3 ; U1 = 2,5 ; U2 = 16/7 = 2,286 ; U3 = 2,174 ; U4 = 2,109 ; U5 = 2,07 ; U6 = 2,05 ; U7 = 2,03 ; U8 = 2,017 ; U9 = 2,011 ; ...

Un+1 = (4Un - 2) / (Un + 1) ≥ 1 donne 4Un - 2 ≥ Un + 1 donc 3Un ≥ 3 d' où Un ≥ 1 .

3°) Un+1 - Un = (4Un - 2 - Un² - Un) / (Un + 1) = (-Un² + 3Un - 2) / (Un + 1)

= (Un - 1)*(2 - Un) / (Un + 1) = (Un - 1)² * (2 - Un) / (Un² - 1) = positif*négatif / positif = négatif , donc la suite (Un) est bien décroissante !

Remarque sur la limite de Un pour n tendant vers l' infini :

il suffit de résoudre L = ( 4L - 2 ) / ( L + 1 ) --> L² + L = 4L - 2 --> L² - 3L + 2 = 0 --> (L - 1 ) * ( L - 2 ) = 0 --> L = 1   OU   L = 2 . Conclusion : la limite cherchée vaut 2 .