Mathématiques

Question

Bonjour..
J’ai un DM en maths concernant les suites
Il s’agit ici de là démonstration par récurrence
Je bloque pour l’exercice 1 notamment pour l’hérédité !

Hérédité : Supposons pour n appartenant à N fixe que Sn est vraie i.e.
1^3 + 3^3 + 5^3 +...+ (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 -1)

Démontrons alors que Sn+1 est vraie i.e.
1^3 + 3^3 + 5^3 +...+ (2n - 1)^3 + (2(n+1)-1)^3 = (n+1)^2(2(n+1)^2 -1)

Sn+1= n^2(2n^2-1) +(2(n+1)-1)^3

Voilà je reste bloquer à cette étape
J’ai demandé de l’aide à mon professeur il m’a conseillé de développer «n^2(2n^2-1) +(2(n+1)-1)^3 = (n+1)^2(2(n+1)^2 -1) »
des deux côtés afin de trouver la même chose
Mais je comprend pas comment procéder
Merci de bien vouloir m’aider
Bonjour.. J’ai un DM en maths concernant les suites Il s’agit ici de là démonstration par récurrence Je bloque pour l’exercice 1 notamment pour l’hérédité ! Hér

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1 Réponse

  • Bonjour,

    [tex]S_n\ est\ vraie\ pour\ n=1\\S_1=1^3=1=1^2(2*1^2-1)=1*1=1\\\\ On\ suppose\ S_n=n^2(2n^2-1)\ est\ vraie\\[/tex]


    [tex]\begin{array}{rcl} S_{n+1}&=&S_n+(2(n+1)-1)^3\\ &=&n^2(2n^2-1)+(2n+1)^3\\ &=&2n^4-n^2+(2n)^3+3*(2n)^2*1+3*2n*1^2+1^3\\ &=&2n^4+8n^3+11n^2+6n+1\\\end{array}\\[/tex]


    [tex]Soit\ P(n)=2n^4+8n^3+11n^2+6n+1\\ P(-1)=2-8+11-6+1=0\\ P(n)\ est\ donc\ divisible\ par\ (n+1)\\[/tex]


    [tex]\begin{array}{c|c|c|c|c|c|} &n^4&n^3&n^2&n&1\\ &2&8&11&6&1\\ n=-1&&-2&-6&-5&-1\\ &2&6&5&1&0\\ x=-1&&-2&-4&-1&\\ &2&4&1&0&\\ \end{array}\\\\[/tex]

    [tex]\begin{array}{rl} S_{n+1}=&(n+1)(2n^3+6n^2+5n+1)\\\\ =&(n+1)^2(2n^2+4n+1)\\\\ =&(n+1)^2(2(n^2+2n+1-1)+1)\\\\ =&(n+1)^2(2(n+1)^2-1) \end{array}[/tex]


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