Bonjour j'ai un exo de 1 ère S On achète pour 80€ d'essence à une station de service. On s'aperçoit qu'à une autre station le prix du litre est inférieur à 0,10

Bonjour

Le coût de 80 € correspond au produit du prix p du litre d'essence par le volume V d'essence acheté

Dans la première station : p × V = 80

Dans la deuxième station :

- le prix du litre vaut (p - 0,1) ;

- le volume acheté est de (V + 5) ;

- le coût est toujours de 80 €.

Donc (V + 5) (p - 0,1) = 80

A partir de l'équation obtenue sur la première station, nous pouvons exprimer p en fonction de V :

p × V = 80 ⇔[tex] p=\frac{80}{V} [/tex]

Dans l'équation correspondant à la seconde station, nous pouvons donc substituer p par [tex] \frac{80}{V} [/tex] :

[tex] \left \{ {{(V + 5) (p - 0,1) = 80} \atop {p=\frac{80}{V}}} \right. [/tex]

⇒ [tex] (V+5)(\frac{80}{V} -0,1) =80 [/tex]

⇒ [tex] 80 - 0,1V + \frac{400}{V} -0,5 = 80 [/tex]

⇒ [tex] - 0,1V + \frac{400}{V} -0,5 = 0 [/tex]

⇒ [tex] -0,1V^2+400-0,5V=0 [/tex]

On obtient donc le polynôme du second degrés -0,1 x² - 0,5x + 400 dont l'une des racines (c'est-à-dire des solutions de l'équation -0,1 x² - 0,5x + 400 = 0) correspond au volume V d'essence acheté dans la première station.

Pour cela, il faut calculer le discriminant par la formule

Δ = b²- 4ac. Ici Δ = 0,5² - 4 × (-0,1) × 400 = 160,25

Donc les racines sont :

[tex] x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} [/tex]

Ici [tex] x_1 = \frac{0,5-\sqrt{160,25}}{2*(-0,1)} = 60,7949 [/tex]

et [tex] x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} [/tex]

Ici [tex] x_2 = \frac{0,5+\sqrt{160,25}}{2*(-0,1)} =- 65,7949 [/tex]

Seule la solution [tex] x_1 [/tex] peut être retenue car c'est la seule positive.

Donc le volume d'essence acheté dans la première station est donc

V = 60,7949 L (à [tex] 10^{-4} [/tex] près.)

Le prix du litre y est donc de [tex] p = \frac{80}{V}=\frac{80}{60,7949} =1,3159 [/tex] € (à [tex] 10^{-4} [/tex] près.)

soit x : le prix du litre

y : le nombre de litre

x * y = 80

(x - 0.10)*(y + 5) = 80

x*y + 5 x - 0.10 y - 0.5 = x*y ⇔ 5 x - 0.10 y = 0.5

⇔ 5 x - 0.10*80/x = 0.5

⇔ 5 x² - 8)/x = 0.5 ⇔ 5 x² - 8 = 0.5 x ⇔ 5 x² - 0.5 x - 8 = 0

Δ = 0.25 + 160 = 160.25 ⇒√160.25 ≈ 12.66

x = 0.5 + 12.66)/10 = 1.3160 €

y = 80/1.316 = 60.7903 L