bonjour, je galère sur cet exercice, que je dois rendre dans une semaine, aider moi s'il vous plait :) on considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB+AC

a) justifier que x appartient à [0 ; 8]

AB + AC = 8 ⇔ x + AC = 8 ⇒ AC = 8 - x ; pour x = 0 ⇒ AC = 8

pour x = 8 ⇒ AC = 0

donc x ∈[0 ; 8]

b) démontrer pour tout x ∈[0;8] d(x) = √(2 x²- 16 x + 64)

ABC est un triangle rectangle en A ⇒ théorème de Pythagore

BC² = AB² + AC²

d(x)² = x² + (8 - x)² = x² + 64 - 16 x + x²

d(x)² = 2 x² - 16 x + 64 ⇒ d(x) = √(2 x² - 16 x + 64)

2) a) en déduire la valeur de x pour laquelle la longueur de l'hypoténuse est minimale

d '(x) = (4 x - 16)/2√(2 x² - 16 x + 64)

⇒ d '(x) = 0 ⇒ 4 x - 16 = 0 ⇒ 4(x - 4) = 0 ⇒x - 4 = 0 ⇒x = 4

d(4) = √(2(4)²-16(4) +64) = 4√2

b) quelle est alors la nature du triangle ABC ⇒ triangle isocèle rectangle en A

AB = x = 4

AC = 8 - x = 8 - 4 = 4

⇒ AB = AC

3) déterminer les valeurs exactes de x pour lesquelles l'hypoténuse a pour longueur 6.

d (x) = 6 = √(2 x² - 16 x + 64)

⇔ 36 = 2 x² - 16 x + 64 car x ≥ 0

⇔ 2 x² - 16 x + 28 = 0 ⇔ 2( x² - 8 x + 14) = 0

⇔ x² - 8 x + 14 = 0

Δ = 64 -56 = 8 ⇒ √8 = 2√2

x1 = 8 + 2√2)/2 = 4 + √2

x2 = 8 - 2√2)/2 = 4 - √2