Bonsoir, J'ai une démonstration à faire en maths (niveau 1eS) Soit a et b 2 reels positif g=sqrt(ab) et q=sqrt(0.5(a²+b²)) Comparer g et q Merci si vous avez de

Bonjour;

[tex] q - g = \sqrt{\dfrac{1}{2}(a^2 + b^2)} - \sqrt{ab} = \dfrac{(\sqrt{\dfrac{1}{2}(a^2 + b^2)} - \sqrt{ab})(\sqrt{\dfrac{1}{2}(a^2 + b^2)} + \sqrt{ab})}{\sqrt{\dfrac{1}{2}(a^2 + b^2)} + \sqrt{ab}} \\\\\\ = \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{2}(a^2 + b^2)}^2 - \sqrt{ab}^2}{\sqrt{\dfrac{1}{2}(a^2 + b^2)} + \sqrt{ab}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}(a^2 + b^2) - ab}{\sqrt{\dfrac{1}{2}(a^2 + b^2)} + \sqrt{ab}} = \dfrac{a^2 + b^2 - 2ab}{2\sqrt{\dfrac{1}{2}(a^2 + b^2)} + \sqrt{ab}} [/tex]

[tex] = \dfrac{(a - b)^2}{2\sqrt{\dfrac{1}{2}(a^2 + b^2)} + \sqrt{ab}} \geq 0 \ ; [/tex]

donc : q ≥ g .