bonjour s'il vous qui peut m'aidé soit ∝ ∈N. pour quelle valeur de ∝ ; 2∝+11 sur ∝+1 ∈N

Si [tex]\dfrac{2 \alpha+11}{\alpha +1} \in N[/tex]

alors on dit que α+1 divise 2α+11

autrement dit il existe n∈N tel que 2α+11 = n(α+1)

ce qui se réécrit : (2-n)α= n-11

soit [tex]\alpha = \dfrac{n-11}{2-n}[/tex]

On sait que α doit être positif comme α∈N

donc les seuls valeurs possibles de n appartiendront à ] 2 ;11 ]

de plus (toujours comme α∈N) il est nécessaire que [tex]\dfrac{n-11}{2-n} \geq 1[/tex]  (si on met de côté le cas α=0 qui est une solution évidente et qui correspond à n=11)

donc il faut n-11 ≤ 2- n   (c'est un signe "≤" car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux négatifs sur ]2 ; 11] ! et donc on inverse le signe en multipliant par un nombre négatif)

donc il faut n ≤13/2 = 6,5  donc n≤6 car n est entier

donc finalement il ne reste que  quatre valeurs de n possibles : {3, 4 ,5, 6}

on vérifie que ça marche pour n∈{ 3 ; 5}

et les valeurs de α associées sont : { 8 ; 2}

on vérifie que cela marche bien :

[tex]\dfrac{2*8+11}{8+1} = \dfrac{27}{9} = 3[/tex]

[tex]\dfrac{2*2+11}{2+1} = \dfrac{15}{3} = 5[/tex]

Donc en n'oubliant pas le cas α=0

l'ensemble des solutions est { 0 ; 2 ; 8}