Bonjour voici mon problème : Soit(Un) la suite définie par U0=1 et Un+1=2Un/2+3Un 1) Montrer par récurrence que pour tout n appartenant a N on a ; 0

Bonsoir,

1) Nous allons vérifier que l'inégalité est vraie au rang n=1:
u(0)=1 donc 0<u(0)<ou=1 donc vraie au rang 1.
On la suppose vraie au rang n et allons vérifier au rang n+1:
0<u(n)<ou=1
0<2u(n)<ou=2 (1)
et
0<u(n)<ou=1
0<3u(n)<ou=3
2<2+3u(n)<ou=5 (2)
On réalise alors un rapport membre à membre (1)/(2):
0/2<2u(n)/(2+3u(n))<ou=2/5
0<u(n+1)<ou=2/5<1
0<u(n+1)<ou=1----->CQFD

2) Nous allons calculer la différence entre 2 termes successifs:
v(n+1)-v(n)
=1/u(n+1)-1/u(n)
=(2+3u(n))/(2u(n))-1/u(n)
=(2+3u(n)-2)/2u(n)
=3u(n)/2u(n)
=3/2
On a donc v(n+1)-v(n)=cst donc la suite v est bien arithmétique de raison 3/2