Demontrer par recurrence que pour tout entier naturel n, 2^(2n)+6n-1 est un multiple de 9. Je ne sais pas comment faire. Merci de m aider

Bonjour ;

Initiation:

On a pour n = 0 : 2^(2n) + 6n - 1 = 0 , donc 2^(2n) + 6n - 1 est divisible par 9 .

Hérédité:

Soit n ∈ IN tel que 2^(2n) + 6n - 1 est divisible par 9 et voyons si on a :

2^(2(n + 1)) + 6(n + 1) - 1 est divisible par 9 .

2^(2(n + 1)) + 6(n + 1) - 1 = 2^(2n + 2)) + 6n + 6 - 1 = 4 x 2^(2n) + 6n + 6 - 1

= 4 x (2^(2n) + 6n - 1 - 6n + 1) + 6n + 5

= 4 x (2^(2n) + 6n - 1) - 24n + 4 + 6n + 5

= 4 x (2^(2n) + 6n - 1) - 18n + 9 qui est divisible par 9 car 2^(2n) + 6n - 1 est divisible par 9 .

Conclusion :

∀ n ∈ IN : 2^(2n) + 6n - 1 est divisible par 9 .