Peut-on trouver deux nombres réels x et y, tels que la somme de leurs inverse soient 1/2 et la somme de leurs carrés 25/36 ? (Justifier votre réponse) J'ai essa

Bonjour,

il faut résoudre le système ::

1/x + 1/y = 1/2 équation (1)

x² + y² = 25/36 équation (2)

(1) ⇔ (x + y)/xy = 1/2

(2) ⇔ (x + y)² - 2xy = 25/36

On va poser : S = x + y et P = xy

(1) ⇔ S/P = 1/2 ⇔ P = 2S

(2) ⇔ S² - 2P = 25/36 ⇔ S² - 4S - 25/36 = 0

Δ = (-4)² - 4 x 1 x (-25/36) = 16 + 100/36 = 676/36 = (26/6)²

⇒ 2 solutions : S₁ = (4 - 26/6)/2 = -1/6 et alors ¨P₁ = 2S₁ = -1/3

ou S₂ = (4 + 26/6)/2 = 25/6 et alors P₂ = 2S₂ = 25/3

La somme des racines d'une équation ax² + bx + c = 0 vaut S = -b/a

Et le produit des racines vaut : P = c/a

Donc x et y sont solutions d'une équation du type ax² + bx + c = 0 avec :

-b/a = -1/6 et c/a = -1/3

OU

-b/a = 25/6 et c/a = 25/3

1er cas : b/a = 1/6 ⇔ b = a/6 et c/a = -1/3 ⇔ c = -a/3

⇒ équation : ax² + ax/6 - a/3 = 0

a ≠ 0 donc : x² + x/6 - 1/3 = 0 ⇔ 6x² + x - 2 = 0

Δ₁ = 1² - 4x6x(-2) = 49 = 7²

donc les 2 racines sont x₁ = (-1 - 7)/12 = -8/12 = -2/3 et x₂ = (-1 + 7)/12 = 1/2

2nd cas : -b/a = 25/6 ⇔ b = -25a/6 et c/a = 25/3 ⇔ c = 25a/3

⇒ équation : ax² - 25ax/6 + 25a/3 = 0

⇔ x² - 25x/6 + 25/3 = 0

⇔ 6x² - 25x + 50 = 0

Δ₂ = (-25)² - 4x6x50 = 625 - 1200 < 0 donc pas de solution

Conclusion :

2 couples de solutions : x = -2/3 et y = 1/2 OU x = 1/2 et y = -2/3

Vérification :

1/x + 1/y = -3/2 + 2/1 = -3/2 + 4/2 = 1/2

et x² + y² = (-2/3)² + (1/2)² = 4/9 + 1/4 = (16 + 9)/36 = 25/36