Soit a ∈ N 1- écrire le nombre a×(a+2)+1 sous la forme x² tel que x un entier naturel ( 6n dit dans ce cas que a×(a+2)+1 est un carré parfait) 2- a) montrez que

Bonjour,

1) a x (a + 2) + 1 = a² + 2a + 1 = (a + 1)²

donc en posant x = a + 1, a x (a + 2) + 1 = x²

2) a) en posant N = n² + n + 1,

(n² + n + 1)(n² + n + 3) + 1

= N x (N + 2) + 1

= (N + 1)²

= (n² + n + 1)²

b) A = n(n + 1)(n+ 2)(n + 3) + 1

= {n(n + 3)] x [(n + 1)(n + 2)] + 1

= (N² - 1) x (N'² - 1) + 1            en posant N² = n(n + 3) + 1 et N'² = (n + 1)(n + 2) + 1

Or : N'² = n² + 3n + 3 = (n² + 3n + 1) + 2 = N² + 2

⇒ A = (N² - 1)(N² + 2 - 1) + 1

= (N² - 1)(N² + 1) + 1

donc de la forme a x (a + 2) + 1 avec a = N² - 1

⇒ A est un carré parfait

=