Soit N un entier naturel qui s'écrit abcca en base 5, soit N=a*5⁴+b*5³+c*5²+c*5+a avec 0≤a<5, 0 N s'écrit bbab en base 8 1) démontrer que 309a + 15c = 226b 2)a)
Mathématiques
manon457
Question
Soit N un entier naturel qui s'écrit abcca en base 5, soit N=a*5⁴+b*5³+c*5²+c*5+a avec 0≤a<5, 0
N s'écrit bbab en base 8
1) démontrer que 309a + 15c = 226b
2)a) démontrer que b est un multiple de 3
b) en déduire b
3) on admet que 3a≡ 1(5). En déduire a et c
4) Ecrire N dans le système décimal
5) démontrer que 3a ≡ 1(5)
J'aurais vraiment besoin d'aide, merci d'avance
1) démontrer que 309a + 15c = 226b
2)a) démontrer que b est un multiple de 3
b) en déduire b
3) on admet que 3a≡ 1(5). En déduire a et c
4) Ecrire N dans le système décimal
5) démontrer que 3a ≡ 1(5)
J'aurais vraiment besoin d'aide, merci d'avance
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
1) N = 625a + 125b + 25c + 5c + a = 626a + 125b + 30c
et N = b + 8a + 64b + 512b = 8a + 577b
⇒ 626a + 125b + 30c = 8a + 577b
⇔ 618a + 30c = 452b
⇔ 309a + 15c = 226b
2)a) 226b = 309a + 15c = 3 x (103a + 5c) donc multiple de 3
226 = 2 x 113 et 113 premier donc 226 non divisible par 3
⇒ b nécessairement multiple de 3
b) ⇒ b = 3 car b < 5
3) 3a ≡ 1 [5]
et 0 ≤ a < 5
⇒ a = 2
309 x 2 + 15c = 226 x 3 ⇒ c = (678 - 618)/15 = 60/15 = 4
4) N = bbab base 8
⇒ N = 3x512 + 3x64 + 2x8 + 3 = 1747
5) 3a = 6 = 5 + 1 ⇒ 3a ≡ 1 [5] bizarre cette question ??