Soit n un entier naturel non nul et a et b deux entiers naturels définis par a=3n+2 et b=7n-12 Soit d un diviseur positif de a et b. 1) démontrer que d divise 5

1) si d est diviseur de a, il est aussi diviseur de 7a

si d esst diviseur de b, il est aussi diviseur de -3b

d est donc diviseur de 7a - 3b

Or 7a - 3 b = (21n + 14) - (21n-36) = 50

Donc d est diviseur de 50

b) on décomposer 50 en produit de facteurs premiers

50 = 2 x 5 x 5

Les valeurs possibles de d sont 1, 2, 5, 10, 25 et 50

3)

b = 7n -12 = n + (6n - 12) = n + 2(3n-6)

d'où  b ≡ n(2)  (b = n modulo 2)

Cela veut dire que (b - n) est divisible par 2

c'est à dire que (b - n) est pair

d est diviseur de b, donc b = d x k avec k un entier

Si d est pair, alors d x k est pair donc b est pair

Si b est pair, il faut que n soit pair pour que (b - n) soit pair (la différence d'un nombre pair et d'un nombre impair est impair)