Bonjour, je bloque sur cette exos pouvez vous m'aidez svp Soit an+1 = 100(\frac{1}{2}) ^{n+1} +\frac{1}{2}an +170[/tex] Montrer par récurrence que pour tout ent
Question
Soit an+1 = 100(\frac{1}{2}) ^{n+1} +\frac{1}{2}an +170[/tex]
Montrer par récurrence que pour tout entier n :
an = [tex]100n(\frac{1}{2})^{n}+110(\frac{1}{2} )^{n} +340[/tex]
Merci d'avance
Lise
1 Réponse
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1. Réponse caylus
Bonsoir,
[tex]a_0=450\\a_{n+1}=100*(\dfrac{1}{2} )^{n+1}+\dfrac{1}{2} *a_n+170\\[/tex]
[tex]a_1=100*\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}*a_0+170\\=\dfrac{1}{2}*100+225+170\\=\dfrac{1}{2}*100+395\\=\dfrac{1}{2}*(1*100+110)+340\\[/tex]
[tex]a_2=100*(\dfrac{1}{2} )^2+\dfrac{1}{2}*(\dfrac{1}{2}*(1*100+110)+340)+170\\=100*(\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{1}{2})^2*(1*100+110)+170+170\\=(\dfrac{1}{2})^2(2*100+110)+340\\[/tex]
[tex]
a_3=100*(\dfrac{1}{2})^3+\dfrac{1}{2}*((\dfrac{1}{2})^2(2*100+110)+340)+170\\=(\dfrac{1}{2})^3(100+2*100+110)+170+170\\=(\dfrac{1}{2})^3(3*100+110)+340\\[/tex]
Hérédité:
On suppose la propriété vrai pour n et on démontre qu'elle est vrai pour n+1
[tex]\boxed{a_n=(\dfrac{1}{2} )^n*(n*100+110)+340}\\a_{n+1}=100*(\dfrac{1}{2})^{n+1}+\dfrac{1}{2}*a_n+170\\=100*(\dfrac{1}{2})^{n+1}+\dfrac{1}{2}*((\dfrac{1}{2} )^n*(n*100+110)+340)+170\\=(\dfrac{1}{2})^{n+1}(100+100n+110)+170+170\\=(\dfrac{1}{2})^{n+1}(100(n+1)+110)+340\\[/tex]