Bonjour, j’ai un DM où je galère, c’est une initiation au trinôme ( je n’ai jamais vu ça en cours ) Le problème est le suivant : On considère le polynôme du 3èm
Question
On considère le polynôme du 3ème
Idegré P tel que P(x) = x(au cube) - 6x(au carré) + 11x -6
a. Démontrer que 2 est racine de P
b. Déterminer les réels a, b, et c tels que P(x) = (x-2)(ax(au carré) + bx + c)
c. Ressorte alors P(x) inférieur ou égale à 0
Merci d’avance !
1 Réponse
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1. Réponse trudelmichel
bonjour,
polynome du 3éme degré
forme factorisée
(x-a)(x-b)(x-c)
formedéveloppée simplifiée
x³+Px²+Qx+R
R produit des racines
Q somme des racines
forme développée complète
x³-(a+b+c)x²+(ab+bc+ac)x-abc
x³-6x²+11x-6
R=6 diviseurs de 6 1;2;3;6
P=6 (1+2+3)
racines 1,2;3
(x-1)(x-2)(x-3)
Qx=(ab+ba+bc) Q= 1x2+1x3+2x3 2+3+6=11
2 racine du polynome
P(x)=(x-2)(ax²+bx+c)
P(x)= ax³-2ax²+bx²-2bx+xc-2c
x³-6x²+11x-6
ax³=x³ a=1
x³-2x²+bx²-2bx+xc-2c
-6x²=-2x²+bx² -6=-2+b b=-4
x²-6x²-8x+xc-2c
-2c=-6 c=3
-2(-4x)+3x=8x+3x=11x
d'où (x-2)(x²-4x+3) =x³-6x²+11x-6
signe
a)
x²-4x+3=0
Δ=4²-4(1)(3)
Δ=16-12
Δ=4
√Δ=2
x1=(4+2)/2 x1=6/2 x1=3
x2=(4-2)/2 x2=2/2 x2=1
a>0 (x²-4x+3) >0 sauf entre les racines
signe de P(x)
x -∞ 1 2 3 +∞
x-2 - - 0 + +
x²-4x+3 + 0 - - 0 +
P(x) - 0 + 0 - 0 +
P(x)≤ 0 x ∈ ]-∞;1] ∪[2; 3]