Bonsoir pouvez vous m’aidez pour l’exercice 10 merci d’avance

1) démontrer que le triangle ABC est rectangle en C

AB² = (3+1)² + (4+2)² = 16 + 36 = 52

AC² = (2+1)² + (1 -2√3 +2)² = 3² + (3 - 2√3)² = 3² +(9 + 12 - 12√3) = 30 - 12√3

BC² = (2 - 3)² + (1-2√3 - 4)² = (- 1)²+(- 3 - 2√3)²= 1 + 9 + 12 + 12√3 = 22 + 12√3

pour démontrer que le triangle est rectangle en C ; il faut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore

AC²+ BC² = 30 - 12√3 + 22 + 12√3 = 52

AB² = 52 ⇒ l'égalité est vérifiée donc le triangle ABC est rectangle en C

2) déterminer les coordonnées du point D milieu de (AB)

D milieu de (AB) = [(3 - 1)/2 ; 4 - 2)/2] = (1 ; 1)

3) on considère le point E de coordonnées (1 ; 1-√13)

a) déterminer la mesure du segment (DE)

DE² = (1 - 1)²+(1 -√13 - 1)² = 0 + √13² = 13 ⇒ DE = √13

b) démontrer que le triangle ABE est rectangle

AB² = 52

AE² = (1+1)²+(1-√13+2)² = 4 + (3-√13)² = 4 + (9 - 6√13 + 13) = 26 - 6√13

BE² = (1-3)²+(1-√13 - 4)² = 4 +(- 3 -√13)² = 4 + (9 + 13 +6√13) = 26 + 6√13

Réciproque du théorème de Pythagore

AE²+BE² = 26 - 6√13 + 26 + 6√13 = 52

AB² = 52  ⇒ l'égalité AE²+BE² = AB² est vérifiée ⇒ le triangle ABE est rectangle en E