merci de m aider piece jointe

La figure m'apparaît comme être la clé du problème.
Pas facile à expliquer, je vais essayer

Trace un rectangle comme suit :
AB = DC = 12 cm 
AD=BC = 9 cm

Commencer par tracer le segment [AB]
Puis tu pars de A et tu traces un segment (vers le haut) de 9cm c'est le point D.
Tu pars du point B et tu traces un segment de 9 cm c'est le point C
Il te reste à joindre [DC]

Tu mesures à partir de B (sur segment BC) 3 cm et tu marques le point M.

Ensuite avec le compas tu piques en M et tu ouvres jusqu'à C (point de symétrie)
Tu gardes cette ouverture (qui doit être de 6 cm) puis tu piques sur C et au-dessus dans l'alignement de (BC) (prolonger le trait) tu marques au compas le point P (ce qui fait CP = 6cm)

Tracer la parallèle à (BD) passant par le point P.
Avec le compas cela me semble difficile car l'écartement est très grand entre la droite BD et le point P mais tu peux essayer....
Je t'explique la technique que j'ai utilisée avec la règle et l'équerre pour tracer la parallèle à BD passant par le point P.
J'ai placé un des côtés de l'angle droit de mon équerre le long de la droite BD puis j'ai placé la règle le long de l'autre côté de l'angle droit de l'équerre. En bloquant la règle (pour ne pas qu'elle bouge)  j'ai fait glisser l'équerre le long de la règle jusqu'à ce qu'elle atteigne le point P avec le côté de l'angle droit qui ne touche pas la règle. J'ai pu tracer une droite le long du côté de l'équerre qui touche le point P : c'est la droite parallèle à BD passant par P.

Je prolonge cette droite parallèle à BD passant par P jusqu'à ce qu'elle coupe le prolongement (du côté du point C) de la droite DC en un point N.
J'obtiens un triangle rectangle PCN rectangle en C.
La construction est achevée.

Calculs
AB = DC = 12 cm et AB // DC
AD = BC = 9 cm et AD // BC
MC = BC - BM = 9 - 3 = 6 cm

a) BD diagonale de ABCD et hypoténuse du triangle BCD
Calcul par le théorème de pythagore, 
BD² = DC² + BC²
BD² = 12² + 9²
BD² = 144 + 81
BD² = √225
BD = 15 cm
La diagonale BD = 15 cm

MC = CP car C est le point de symétrie et milieu de MP
MC=CP= 6 cm

b) calcule de CN - J'applique Thalès vu que les droites PN //BD par construction
PC/CB = NC/CD
6/9 = NC/12
Avec le produit en croix je calcule.
NC = (6 x 12) / 9
NC = 72 / 9
NC = 8 cm

c) DN = 12 + 8 = 20 cm

d) MN - par le théorème de Pythagore

MN² = NC² + CM²
MN² = 8² + 6²
MN² = 64 + 36
MN² = √100
MN = 10
La droite MN mesure 10 cm.

Il y a peut être d'autres méthodes...