Mathématiques

Question

Bonjour,
J'ai un exercice de math à faire mais je suis bloqué, je suis en terminale sti2d:

1. Soit f la fonction définie sur [0,π/2] par f(θ)=sin2θ.

a) Calculer f'(θ) pour tout θ de [0,π/2].

b) Résoudre dans [0,π/2] l'équation cos2θ = cos π/2.

c) Établir le tableau de variation de f.

2. Application: Un rectangle ABCD est inscrit dans un demi-cercle de centre O,de diamètre [IJ] et de rayon R=4,5cm comme l'indique la figure. θ désigne une mesure en radians de l'angle (OB,OC), et on suppose: 0≤θ≤π/2.


Donner en fonction de θ l'aire du rectangle ABCD. Déterminer la valeur de θ pour laquelle l'aire du rectangle ABCD est maximale. Quelles sont alors les dimension de ce rectangle?

Merci d'avance pour votre aide!
Bonjour, J'ai un exercice de math à faire mais je suis bloqué, je suis en terminale sti2d: 1. Soit f la fonction définie sur [0,π/2] par f(θ)=sin2θ. a) Calculer

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1 Réponse

  • Bonjour,

    1) a) f'(θ) = 2cos(2θ)

    b) cos(2θ) = cos(π/2)

    ⇒ 2θ = π/2 + k2π     ou 2θ = -π/2 + k2π    (k ∈ Z)

    ⇔ θ = π/4 + kπ         ou θ = -π/4 + kπ

    Donc sur [0;π/2], une seule solution : θ = π/4

    c)

    θ         0                 π/4                 π/2

    f'(θ)                +        0          -

    f(θ)           crois.             décrois.

    2) Aire(ABCD) = AB x BC = 2OB x BC = 2 x Rcos(θ) x Rsin(θ)

    et 2cos(θ)sin(θ) = sin(2θ) = f(θ)

    Donc Aire(ABCD) = Rf(θ) = 4,5 x f(θ)

    ⇒ A = Aire maximale, est atteinte quand f(θ) est maximale, soit d'après le 1) pour θ = π/4

    soit A = 4,5sin(π/2) = 4,5 cm²

    on alors BC = Rsin(π/4) = 4,5 x √2/2

    et AB = 2 x OB = 2 x Rcos(π/4) = 2 x 4,5 x √2/2 = 4,5 x √2

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