bonjour pourriez vous m'aider à ces questions svp et merci d'avance : soit x un réel strictement positif 1) Montrer que 1+√1+x >2 puis déduire que [tex] 0 < \fr
Question
soit x un réel strictement positif
1) Montrer que 1+√1+x >2 puis déduire que
[tex] 0 < \frac{1}{ 1 + \sqrt{1 + \times } } < \frac{1}{2} [/tex]
2) Montrer que
[tex]1 < \sqrt{1 + x} < 1 + \frac{x}{2} [/tex]
Puis donner un encadrement au
[tex] \sqrt{1.04} [/tex]
1 Réponse
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1. Réponse greencalogero
Bonjour,
1) On sait que: x>0
1+x>1
√(1+x)>1 (car la fonction racine est strictement croissante sur R)
1+√(1+x)>1+1
1+√(1+x)>2----->CQFD
On peut alors écrire que:
1/(1+√(1+x))<1/2
De plus, ∀x∈R 1+(1+√1+x)>0 donc son inverse aussi donc on en déduit
que:
0<1/(1+√(1+x))<1/2----> CQFD
2) x>0
1+x>1
√(1+x)>1
1/(1+√(1+x))<1/2
x/(1+√(1+x))<x/2
1+x/(1+√(1+x))<1+x/2
1+x(1-√(1+x))/(1+√(1+x))(1-√(1-√1+x))<1+x/2 (après un calcul fastidieux)
√(1+x)<1+x/2
On en déduit alors: 1<√(1+x)<1+x/2
D'où:
1<√(1+0.04)<1+0.04/2
1<√1.04<1.02