Bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice mrc

Bonjour,

a) U₀ = 10 donc U₀ ≥ 0 : Propriété vérifiée au rang n = 0

On supppose la propriété vraie au rang n : Soit Un ≥ 0

Au rang (n + 1) : Un+1 = Un/2 + 1

Un ≥ 0

⇔ Un/2 ≥ 0

⇔ Un/ 2 + 1 ≥ 1

⇔ Un+1 ≥ 1

⇒ Un+1 ≥ 0

Donc propriété héréditaire...

b) U₁ = U₀/2 + 1 = 10/2 + 1 = 6

U₁ - U₀ = 6 - 10 = -4 ⇒ U₁ - U₀ < 0 ⇒ propriété vraie

On suppose qu'au rang n : Un+1 - Un < 0

Au rang (n + 1) :

Un+2 - Un+1 = (Un+1)/2 + 1 - Un+1 = -(Un+1)/2 + 1 = -(Un/2 + 1)/2 + 1 = -Un/4 + 1/2

Or d'après l'hypothèse de récurrence : Un+1 - Un < 0

soit : Un/2 + 1 - Un < 0

⇔ -Un/2 + 1 < 0

⇔ -Un/4 + 1/2  < 0

⇒ Un+2 - Un+1 < 0

Hérédité démontrée ⇒ (Un) décroissante