Bonjour, j’ai un devoir de vacances à réaliser pour la terminale S et je le comprends pas comment je peux réaliser cet exercice (le 8) Si vous pouviez m’aider c

Bonjour,

plusieurs méthodes. En voici une :

(x² + 1) - x²cos(x) = x²(1 - cos(x)) + 1

-1 ≤ cos(x) ≤ 1

⇔ 1 ≥ -cos(x) ≥ -1

⇔ 2 ≥ 1 - cos(x) ≥ 0

x² ≥ 0 ⇒ 2x² ≥ x²(1 - cos(x)) ≥ 0 ⇔ 2x² + 1 ≥ x²(1 - cos(x)) + 1 ≥ 1

⇒ x² - x²cos(x) + 1 ≥ 1

⇔ x²cos(x) ≤ x² + 1

⇒ x²cos(x)/(x² + 1) ≤ 1 (car x² + 1 > 0)

Même démo pour la seconde inégalité :

(x² + 1) + x²cos(x) = x²(1 + cos(x)) + 1

....

On peut aussi démontrer que la fonction x²cos(x)/(x² + 1) est bornée en étudiant les limites.

Ou encore simplement dire :

-1 ≤ cos(x) ≤ 1

⇒ -x² ≤ x²cos(x) ≤ x²

⇒ -x²/(x² + 1) ≤ x²cos(x)/(x² + 1) ≤ x²/(x² + 1)

puis : x²/(x² + 1) = 1/(1 + 1/x²) donc ∈ [0;1] etc...