Bonjour je bloque sur un exo la consigne est ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6cm et AC = 3cm le point M est un point du segment [AB] on pose AM

1°) MNPA est bien un rectangle puisque les côtés sont parallèles deux à deux et qu' on a un angle droit en A .

2°) il est clair que 0 < x < 6 cm puisque M se promène sur le segment [ AB ] .

3°) MN = (6-x)/2 d' après Thalès qui dit : BM/BA = NM/CA --> (6-x)/6 = NM/3 --> MN = (6-x)/2 .

4°) Aire du rectangle MNPA = x*(6-x)/2 = 0,5x(6-x) = f(x) .

5°) -0,5(x-3)² + 4,5 = -0,5(x²-6x+9) + 4,5 = -0,5x² + 3x = f(x) . Tu as oublié un signe "moins" !

6°) l' Aire maxi de MNPA sera obtenue pour "x" milieu de zéro et 6 ; donc pour x = 3 cm --> Aire maxi = 0,5 * 3 * 3 = 4,5 cm² .

7°) résolvons -0,5x² + 3x = 2,5 --> 0,5x² - 3x + 2,5 = 0 --> x² - 6x + 5 = 0 --> (x-1)*(x-5) = 0 --> x = 1 cm OU x = 5 cm !

Bonjour

1°) Nous savons que (PN)//(AB) et que M∈(AB) donc (PN) // (AM).

Nous savons aussi que (MN)//(AC).

Donc MNPA est un parallélogramme.

Nous savons que l'angle PAM est droit. Or un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle.

Donc MNPA est un rectangle.

2°) x = AM

Nous savons que AB=6 et que M∈[AB].

Donc lorsque M=A alors x=0 et lorsque M=B alors x=6.

Lorsque M est compris entre A et B alors x est compris entre 0 et 6.

Donc x ∈ [0 ; 6].

3°) Nous savons que (MN) // (AC).

Donc d'après le théorème de Thalès, dans le triangle ABC :

[tex] \frac{BM}{BA} =\frac{MN}{AC} [/tex] ⇔[tex] \frac{6-x}{6} =\frac{MN}{3} [/tex]

Donc [tex] MN = \frac{3(6-x)}{6} = \frac{1}{2} (6-x) [/tex]

En conclusion, [tex] MN = \frac{1}{2} (6-x) [/tex]

4°) L'aire de MNPA est égal au produit de MN et de AM, soit :

[tex] MN * AM =\frac{1}{2} ( 6-x)*x [/tex]

Donc [tex] MN * AM =\frac{1}{2}x ( 6-x) [/tex]

5°) Il existe une erreur dans ton texte : tu as oublié le signe "moins" devant 1/2.

En effet :

[tex] -\frac{1}{2} (x-3)^2+\frac{9}{2} =-\frac{1}{2}(x^2-6x+9)+\frac{9}{2} [/tex]

[tex] =-\frac{1}{2}x^2+3x-\frac{9}{2} +\frac{9}{2} =-\frac{1}{2}x^2+3x [/tex]

[tex] =\frac{1}{2}x (-x+6)=\frac{1}{2}x (6-x) [/tex]

Donc, pour tout x ∈ [0 ; 6], [tex] \frac{1}{2}x (6-x) = -\frac{1}{2} (x-3)^2+\frac{9}{2} [/tex]

L'aire de MNPA est donc égal à [tex] -\frac{1}{2} (x-3)^2+\frac{9}{2} [/tex], pour tout x ∈ [0 ; 6].

6°) Nous venons de voir à la question précédente que l'aire de MNPA est égal à [tex] -\frac{1}{2} (x-3)^2+\frac{9}{2} [/tex]

soit [tex] \frac{9}{2}-\frac{1}{2} (x-3)^2 [/tex].

Il s'agit donc d'une différence entre

[tex] \frac{9}{2} [/tex] et[tex] \frac{1}{2} (x-3)^2 [/tex].

Le maximum de cette différence est donc atteint lorsque

[tex] \frac{1}{2} (x-3)^2=0 [/tex], c'est-à-dire lorsque [tex] x=3 [/tex].

Comme 3 ∈ [0 ; 6], c'est une valeur possible de x (c'est-à-dire de la longueur AM)

Donc le maximum de l'aire de MNPA est [tex] \frac{9}{2} [/tex].

7°) Lorsque l'aire de MNPA vaut 2,5 soit [tex] \frac{5}{2} [/tex] alors (d'après l'égalité que nous avons vue à la question 5°) :

[tex] -\frac{1}{2} (x-3)^2+\frac{9}{2}=\frac{5}{2} [/tex]

Donc [tex] -(x-3)^2+9=5 [/tex]⇔[tex] -(x-3)^2=-4 [/tex]

⇔[tex] (x-3)^2=4 [/tex].

Il existe deux solutions à cette équation :

soit [tex] x-3=2 [/tex] et alors [tex] x=5 [/tex]

soit [tex] x-3=-2 [/tex] et alors [tex] x=1 [/tex]

Voilà, n'hésite pas si tu as des questions.

Bon courage