Bonjour, je n'arrive pas à faire un exercice de mon devoir de maths Soient (un) et (vn) deux suites définies par [tex] u_{1} = 4 [/tex], [tex] v_{1} = 1 [/tex]
Mathématiques
loicsonzogni86
Question
Bonjour, je n'arrive pas à faire un exercice de mon devoir de maths
Soient (un) et (vn) deux suites définies par [tex] u_{1} = 4 [/tex], [tex] v_{1} = 1 [/tex] et pour tout n € N*
[tex] u_{n+1} = \frac{u_{n}+3v_{n}}{4} [/tex] et [tex] v_{n+1} = \frac{u_{n}+4v_{n}}{5} [/tex]
Pour tout n € N*, on pose wn = vn - un
1) Démontrer que (wn) est une suite géométrique
2) Exprimer wn en fonction de n
3) Démontrer que la suite (wn) est convergente et déterminer sa limite
4) Démontrer que la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est croissante
5) Démontrer que, pour tout n € N*, on a les inégalités u1 ≥ un ≥ vn ≥ v1
Je vous remercie d'avance pour vos réponses
Soient (un) et (vn) deux suites définies par [tex] u_{1} = 4 [/tex], [tex] v_{1} = 1 [/tex] et pour tout n € N*
[tex] u_{n+1} = \frac{u_{n}+3v_{n}}{4} [/tex] et [tex] v_{n+1} = \frac{u_{n}+4v_{n}}{5} [/tex]
Pour tout n € N*, on pose wn = vn - un
1) Démontrer que (wn) est une suite géométrique
2) Exprimer wn en fonction de n
3) Démontrer que la suite (wn) est convergente et déterminer sa limite
4) Démontrer que la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est croissante
5) Démontrer que, pour tout n € N*, on a les inégalités u1 ≥ un ≥ vn ≥ v1
Je vous remercie d'avance pour vos réponses
1 Réponse
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1. Réponse yanowski19
Bonsoir.
Tu fixes n dans N.
1/Tu exprimes w(n+1)=v(n+1)-u(n+1) en fonction w(n)=v(n)-u(n)
2/si w(n+1)=k*w(n) alors tu déduit par récurrence immédiate que w(n)=k^(n-1)*w(1)
3/si 0<k<1 tu déduis que w(n) est convergente et converge vers 0.
4/tu montres dabord par récurrence que u(n) et v(n) sont strictement positives pour tout n dans N. Ensuite tu n'as qu'à trouver le signe de la différence, cad celui de u(n+1) - u(n) et de l'autre, sachant que tu connais le signe de w(n)=v(n)-u(n) d'après 2/.
5/ les resultats des questions 3 et 4 impliquent que les suites un et vn sont adjacentes, si tu veux convergentes et de même limite, wn<0 te donne vn<=un. vn croissante donc vn>=v1 Et un décroissante implique un<=u1, d'où cqfd