Un rectangle a Bonjou, une aire égale à 1m carré et son périmètre est inférieur ou égale à 8cm. Quelles sont les dimensions possibles de ce rectangle?

L'aire du rectangle A = 1 m²

son périmètre p ≤ 8 cm

quelles sont les dimensions possibles de ce rectangle

soit x et y : les dimensions de ce rectangle

on écrit que A = x * y = 1 ⇒ y = 1/x

p = 2(x + y) ≤ 8 ⇔ x + y ≤ 4

⇒ x + 1/x ≤ 4 ⇔ (x² + 1)/x ≤ 4 ⇔ (x² + 1)/x - 4 x/x ≤ 0 ⇔ (x² - 4 x + 1)/x ≤ 0

x² - 4 x + 1 ≤ 0

Δ = 16 - 4 = 12 ⇒√12 = 3.46

x1 = 4 + 3.46)/2 = 3.73

x2 = 4 - 3.46)/2 = 0.27

Etudions le signe

x 0 0.27 3.73 + ∞

x² - 4 x + 1 + 0 - 0 +

x || + + +

Q || + 0 - 0 +

les valeurs possibles de x sont l'intervalle [0.27 ; 3.73]

les valeurs de y sont [1/0.27 ; 1/3.73]