Soit la suite définie par u(0)= 0 u(n+1)= u(n) + 2(n+1) Doit doit affirmer ou nier en justifiant trois propositions: 1. la suite u(n) est arithmétique u(n+1)-u(
Mathématiques
linap850
Question
Soit la suite définie par
u(0)= 0
u(n+1)= u(n) + 2(n+1)
Doit doit affirmer ou nier en justifiant trois propositions:
1. "la suite u(n) est arithmétique"
u(n+1)-u(n)= u(n)+2n+2-u(n)= 2n+2 donc la suite n'est pas arithmétique
2. "Il existe au moins une valeur de n pour laquelle u(n)=n2+1"
u(1)=2 et 2= 12+1 donc la proposition est vraie
3. "Pour toutes valeurs de n, on a u(n)= n2+n"
je vois que cette proposition est vraie mais je ne sais pas comment le prouver/ justifier
Merci de votre vérification et de votre aide
u(0)= 0
u(n+1)= u(n) + 2(n+1)
Doit doit affirmer ou nier en justifiant trois propositions:
1. "la suite u(n) est arithmétique"
u(n+1)-u(n)= u(n)+2n+2-u(n)= 2n+2 donc la suite n'est pas arithmétique
2. "Il existe au moins une valeur de n pour laquelle u(n)=n2+1"
u(1)=2 et 2= 12+1 donc la proposition est vraie
3. "Pour toutes valeurs de n, on a u(n)= n2+n"
je vois que cette proposition est vraie mais je ne sais pas comment le prouver/ justifier
Merci de votre vérification et de votre aide
1 Réponse
-
1. Réponse taalbabachir
3) il faut utiliser la démonstration par récurence
* initialisation ⇒ il existe au moins une valeur de n pour laquelle Un = n² + 1
il faut vérifier que P(1) est vraie ⇒ U1 = 2 = 1² + 1 = 2 donc P(1) est vraie
* Héridité ⇒ on suppose que pour tout n, P(n) est vraie ⇒ Un = n² + n
il faut montrer que P(n+1) est vraie
Un+1 = (n+1)² + n+1 = n² + 2 n + 1 + n + 1
⇔ Un+1 = Un + 2(n+1) = n²+n + 2 n + 2 = Un + 2(n+1) ⇒ pour tout n ; P(n+1) est vraie
*Conclusion P(1) est vraie et P(n) est hériditaire pour tout n, donc par récurence P(n) est vraie pour tout n